Question

2．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为AB，BC的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）当点P在DD₁上运动时，是否都有MN∥平面A₁C₁P，证明你的结论；
（3）若P是D₁D的中点，试判断PB与平面B₁MN是否垂直？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由正方形性质得AC⊥BD，又由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点，易得MN∥AC，则MN⊥BD．BB₁⊥MN，由线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P．由线面平行的判定定理证明即可；
（3）要证明PB⊥平面MNB₁，需利用题设条件推导出PB⊥MB₁，PB⊥MN，由此能够证明PB⊥平面MNB₁．

解答 （1）证明：连接AC，则AC⊥BD，
又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，
∴MN⊥BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵MN?平面ABCD，
∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，
∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵MN?平面B₁MN，
∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）当点P在DD₁上移动时，都有MN∥平面A₁C₁P．
证明如下：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵MN?面A₁C₁P，A₁C₁?平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P；
（3）证明：过点P作PE⊥AA₁，则PE∥DA，连接BE，
∵DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁，即PE⊥B₁M，
又∵BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB，
∴PB⊥MB₁，
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B，得PB⊥MN，
所以PB⊥平面MNB₁．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．