Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-6），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{10}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=5，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 根据题意得出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，再根据（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角大小．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，
∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-6），
∴$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{a}$，
又（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{c}$|×cosθ=-$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$×cosθ=5，
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0°，180°]，
∴θ=120°．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角大小的计算问题，是基础题．