Question

1．设n＞1且为奇数，证明：n|（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n-1}$）（n-1）!

Answer 1

分析 利用数学归纳法即可证明．注意变形利用假设条件．

解答 证明：利用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，$（1+\frac{1}{2}）×2！$=3，可以被3整除，因此成立．
（2）假设当n=2k-1（k∈N^*，k≥2）时，（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$）（2k-1）!=（2k-1）•m（m为正整数）．
则n=2k+1时，（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$+$\frac{1}{2k-1}$+$\frac{1}{2k}$）（2k+2）!
=（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$）（2k+2）!+（$\frac{1}{2k-1}$+$\frac{1}{2k}$）（2k+2）!=
=（2k-1）•m×2k（2k+1）（2k+2）+（2k-2）!（2k+1）（2k+2）
=（2k+1）•N，N=（2k-1）•m×2k×（2k+2）+（2k-2）!×（2k+2）为整数．
上式能够被奇数2k+1整除，因此n=2k+1时假设成立．
综上可得：命题成立．

点评 本题考查了数学归纳法、阶乘、整除的理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．