Question

一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：设DF长为x，则DE=EF=

2

2

xx，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，从而用x表示出EG，FI，FH，从而将问题转化到Rt△DHF中，有DF²=DH²+FH²求解．

解答： 解：如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，
边长为4，△DEF为等腰直角三角形，
DF为斜边，设DF长为x，则DE=EF=

2

2

x，
作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，
则EG=

DE2-DG2

=

x2 2 -16

，FI=

EF2-EI2

=

x2 2 -16

，
FH=FI+HI=FI+EG=2

x2 2 -16

，
在Rt△DHF中，DF²=DH²+FH²，
即x²=16+（2

x2 2 -16

）²，解得x=4

3

．
即该三角形的斜边长为4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题主要考查棱柱的结构特征，主要涉及了正棱柱，一是底面是正多边形，二是侧棱与底面垂直，还考查了转化思想，属中档题．