Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，
∴f'（-1）=3a-2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=-

1

3

，b=

1

2

0在（1，2）内有根．（6分）
（II）由（I）得方程f（x）+x³-2x²-x+m=0可化为：

2

3

x3-

3

2

x2+x+m=0
令g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x+m
则g'（x）=2x²-3x+1
∵当x∈[

1

2

，2]时，g'（x）≤0
故g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x+m在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，
则

g( 1 2 )≥0 g(2)≥0 g(1)＜0

解得：-

5

24

≤m＜-

1

6