Question

设函数f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），由周期公式可得；
（Ⅱ）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），则它关于x=1的对称点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，可得g（x）=f（2-x）=

3

cos（

π

4

x+

π

3

），由0≤x≤

3

4

结合余弦函数的单调性可得．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f(x)=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x

=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8；
（Ⅱ）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），
则它关于x=1的对称点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]
=

3

sin（

π

2

-

π

4

x-

π

3

）=

3

cos（

π

4

x+

π

3

）
当0≤x≤

3

4

时，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
∴y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为gmax=

3

cos

π

3

=

3

2

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．