Question

11．若函数f（x）=x³-3x在（a，6-a²）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\sqrt{7}$，-1）
• B． （-$\sqrt{7}$，-1]
• C． （-$\sqrt{7}$，-2）
• D． （-$\sqrt{7}$，-2]

Answer 1

分析 因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6-a²）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．

解答 解：由题意f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x=-1是函数f（x）的极大值点，f（-1）=-1+3=2，x³-3x=2，解得x=2，
所以由题意应有：$\left\{\begin{array}{l}{a＜6-{a}^{2}}\\{a＜-1}\\{6-{a}^{2}＞-1}\\{6-{a}^{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得-$\sqrt{7}$＜a≤-2．
故选：D．

点评 本题考查了三次函数在指定区间上的最值问题，一定要辨析清楚是开区间还是闭区间，从而确定最值点与极值点的关系；本题另一个易错点为易忽视定义域中a＜6-a²的条件．