Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是$\frac{2π}{3}$，最小值是-2，且图象经过点（$\frac{5π}{9}$，0），则f（0）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．

解答 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是$\frac{2π}{3}$，最小值是-2，
可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3，A=2．
再根据f（x）的图象经过点（$\frac{5π}{9}$，0），可得2sin（3×$\frac{5π}{9}$+φ）=0，可得sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$），
故f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．