Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[-2.2]=-3，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…+[log₃243]的值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用取整函数的性质和对数的运算法则求解．

解答： 解：由题意可知：设[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b为整数
a=3^b+x，0≤x＜1，
因为y=3^x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3⁰=1，3¹=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log₃1]+[log₃2]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1
b=2时，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2．
b=3时，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3．
b=4时，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃242]=4．
b=5时，[log₃243]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]
=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．
故答案为：857．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意取整函数的性质和对数的运算法则的合理运用．