Question

已知函数f（x）=

f1(x) ， x≤0 f2(x)， x＞0

，则下列命题正确的是（　　）

• A、若y=f₁（x）（x≤0）是增函数，y=f₂（x）（x＞0）是减函数，则y=f（x）存在最大值
• B、若y=f（x）存在最大值，则y=f₁（x）（x≤0）是增函数，y=f₂（x）（x＞0）是减函数
• C、若y=f₁（x）（x≤0），y=f₂（x）（x＞0）均为减函数，则y=f（x）是减函数
• D、若y=f（x）是减函数，则y=f₁（x）（x≤0），y=f₂（x）（x＞0）均为减函数

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．取f(x)=

2x，x≤0 1 x ，x＞0

满足条件，但是y=f（x）不存在最大值；
B．取f(x)=

sinx，x≤0 -x，x＞0

存在最大值，但是y=f₁（x）（x≤0）不具有单调性；
C．取f(x)=

log2(-x+1)，x≤0 1 x ，x＞0

满足y=f₁（x）（x≤0），y=f₂（x）（x＞0）均为减函数，但是y=f（x）不是减函数；
D．利用减函数的定义可知正确．

解答： 解：A．取f(x)=

2x，x≤0 1 x ，x＞0

满足条件，但是y=f（x）不存在最大值，因此不正确；
B．取f(x)=

sinx，x≤0 -x，x＞0

存在最大值，但是y=f₁（x）（x≤0）不具有单调性，因此不正确；
C．取f(x)=

log2(-x+1)，x≤0 1 x ，x＞0

满足y=f₁（x）（x≤0），y=f₂（x）（x＞0）均为减函数，但是y=f（x）不是减函数；
D．y=f（x）是减函数，则y=f₁（x）（x≤0），y=f₂（x）（x＞0）均为减函数，利用减函数的定义可知正确．
综上可知：只有D正确．
故选：D．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了通过举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于难题．