Question

已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点．

（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，
则可设直线的方程为（），，，
由消去，得，显然.
所以，. ………………………………………………2分
由，得，所以，
所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，又，
所以，直线的方程为 ①.………………………………4分
同理，直线的方程为 ②.………………………………5分
②-①并据得点M的横坐标，
即，，三点的横坐标成等差数列.  ……………………7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）().
所以，
则直线MF的方程为，   …………………………………………8分
设C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)
由消去，得，显然，
所以，.    …………………………………………9分
又
.…………10分

.……………12分
因为，所以 ，    
所以，，
当且仅当时，四边形面积的取到最小值.……………………14分

解析