【题目】设,曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求的值;
(2)若对于任意的恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)求出原函数的导函数,结合列方程,即可求得
的值;(2)把(1)中求得的
值代入函数解析式,由
,得到
,构造函数
,即
,然后对
分类讨论,求导利用导数研究函数的单调性与最值,从而可得
的取值范围.
试题解析:(1)f′(x)= ,由题设f′(1)=1,∴
,∴a=0.
(2),x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1),即4lnx≤m(3x﹣
﹣2)
设g(x)=4lnx﹣m(3x﹣﹣2),即x∈[1,|+∞),g(x)≤0,
∴g′(x)=﹣m(3+
)=
,g′(1)=4﹣4m
①若m≤0,g′(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设g(x)≤0矛盾
②若m∈(0,1),当x∈(1,,g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)≥g(1)=0,与题设矛盾.
③若m≥1,当x∈(1,+∞),),g′(x)≤0,g(x)单调递减,g(x)≤g(1)=0,即不等式成立 综上所述,m≥1.
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【题目】已知椭圆:
的右顶点、上顶点分别为
、
,坐标原点到直线
的距离为
,且
,则椭圆
的方程为( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
写出直线的方程,利用原点到直线
的距离,以及
列方程组,解方程组求得
的值,进而求得椭圆的方程.
椭圆右顶点坐标为,上顶点坐标为
,故直线
的方程为
,即
,依题意原点到直线的距离为
,且
,由此解得
,故椭圆的方程为
,故选D.
【点睛】
本小题主要考查过两点的直线方程,考查点到直线的距离公式,考查椭圆标准方程的求法,考查了方程的思想.属于中档题.
【题型】单选题
【结束】
11
【题目】若实数,
满足
,则
的最小值是( )
A. 0 B. C. -6 D. -3
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【题目】已知平面内动点到两定点
和
的距离之和为4.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知直线和
的倾斜角均为
,直线
过坐标原点
且与曲线
相交于
,
两点,直线
过点
且与曲线
是交于
,
两点,求证:对任意
,
.
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【题目】如图,已知圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线和半径
相交于
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知是轨迹
的三个动点,点
在一象限,
与
关于原点对称,且
,问
的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相应直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力。某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果。例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人。
视觉 听觉 | 视觉记忆能力 | ||||
偏低 | 中等 | 偏高 | 超常 | ||
听觉 记忆 能力 | 偏低 | 0 | 7 | 5 | 1 |
中等 | 1 | 8 | 3 | b | |
偏高 | 2 | a | 0 | 1 | |
超常 | 0 | 2 | 1 | 1 |
由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为。
(1)试确定a,b的值;
(2)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X,求随机变量X的分布列。
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【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
,左、右焦点分别为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:
与椭圆交于
,
两点,与以
为直径的圆交于
,
两点,且满足
,求直线
的方程.
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