【题目】如图,已知圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知是轨迹的三个动点,点在一象限, 与关于原点对称,且,问的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相应直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)连接,根据题意, ,则 ,可得动点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,即可求出动点的轨迹的方程;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立,求出的坐标,同理可得点的坐标,进而表示出的面积,利用基本不等式,即可得出结论.
试题解析:(1)∵Q在线段PF的垂直平分线上,∴|QP|=|QF|,得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4,
又|EF|=2<4,∴Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆,∴Г: +y2=1.
(2)由点A在第一象限,B与A关于原点对称,设直线AB的方程为y=kx(k>0),
∵|CA|=|CB|,∴C在AB的垂直平分线上,∴直线OC的方程为y=-x. ,同理可得|OC|=
当且仅当k=1时取等号,∴S△ABC≥.
综上,当直线AB的方程为y=x时,△ABC的面积有最小值.
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【题目】已知点,圆。
(1)若点在圆内,求的取值范围;
(2)若过点的圆的切线只有一条,求切线的方程;
(3)当时,过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程。
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于, 两点,求的面积.
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【题目】从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这些成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组;;第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
求成绩在区间内的学生人数;
估计这40名学生成绩的众数和中位数.
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【题目】如图,河的两岸分别有生活小区和,其中,三点共线,与的延长线交于点,测得,,,,,若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线(其中是常数)的一部分,河岸可看成是直线(其中为常数)的一部分.
(1)求的值.
(2)现准备建一座桥,其中分别在上,且,的横坐标为.写出桥的长关于的函数关系式,并标明定义域;当为何值时,取到最小值?最小值是多少?
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【题目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若, 是椭圆上两个不同的动点,且使的角平分线垂直于轴,试判断直线的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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【题目】已知椭圆()的上顶点与抛物线()的焦点重合.
(1)设椭圆和抛物线交于, 两点,若,求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线和椭圆均相切,切点分别为, ,记的面积为,求证: .
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