Question

【题目】已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.

（1）设椭圆和抛物线交于， 两点，若，求椭圆的方程；

（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为， ，记的面积为，求证： .

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质得p，再根据对称性得A坐标，代人椭圆方程可得a,（2）先根据导数几何意义得抛物线切线方程，再与椭圆方程联立，根据判别式为零确定切点，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最值，证得结论.

试题解析：（1）易知，则抛物线的方程为

由及图形的对称性，不妨设，

代入，得，则.

将之代入椭圆方程得，得，

所以椭圆的方程为.

（2）设切点， 即，求导得，则切线的斜率为，方程，即，

将之与椭圆联立得，

令判别式

化简整理得， ，此时

设直线与轴交于点，则

由基本不等式得，

则，仅当时取等号，但此时，故等号无法取得，于是.