Question

【题目】已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足 ．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则 ，

因为F的坐标为（1，0），所以 ，

由 ，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．

即 ，解得

代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x．

（2）解：设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），

则 ，解得 ．

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或 ．

所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（ ）．

【解析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由 得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．