Question

19．已知函数f（x）=|x-a|+|x-2|，x∈R
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求$\frac{3}{m}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{p}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求$\frac{3}{m}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{p}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-a|+|x-2|≥|a-2|，
∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，
∴|a-2|≤a，∴a≥1，
∴实数a的最小值M=1；
（Ⅱ）m+2n+3p=1，$\frac{3}{m}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{p}$=（$\frac{3}{m}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{p}$）（m+2n+3p）≥（$\sqrt{3}$+2+$\sqrt{3}$）²=16+8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{3}{m}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{p}$的最小值为16+8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．