Question

6．已知函数 f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$，若关于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（-\frac{2}{3}，1）$
• B． $[{-\frac{2}{3}，-\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$
• C． $（{-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}}）$
• D． $（{-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}}）∪（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$的图象，从而可得|x-1|＜|ax|，再作出函数y=|x-1|与函数y=|ax|的图象，从而由排除法确定a的取值范围．

解答 解：由题意，
作出函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$的图象如下，

故不等式f（x）＜f（ax+1）可化为|x-1|＜|ax+1-1|，
即|x-1|＜|ax|；
作函数y=|x-1|与函数y=|ax|的图象如下，

结合图象可得，实数a的取值范围应该关于原点对称，
故排除A、D，
当a=0时，不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有一个整数1，故不正确；
故排除C；
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的应用及学生的作图能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．