Question

(本小题满分12分)
已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线与椭圆相交于、两点， 为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

（I）；（II）。

解析试题分析：（I）依题意，可设椭圆的方程为．
由 
∵ 椭圆经过点，则，解得
∴ 椭圆的方程为…………………
（II）联立方程组，消去整理得………………
∵ 直线与椭圆有两个交点，
∴ ，解得  ①…………………
∵ 原点在以为直径的圆外，
∴为锐角，即．
而、分别在、上且异于点，即………………
设两点坐标分别为，
则
解得  ，                  ②…………………
综合①②可知：…………………
考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。
点评：（1）有关直线与椭圆的综合应用，经常用到的步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。（2）在第二问中，合理转化是解题的关键，即把“O在以MN为直径的圆外”这个条件转化为“”。