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(本题满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.

(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

(1) b=-1.(2) (x-2)2+(y-1)2=4.

解析试题分析:(1)由得x2-4x-4b=0,(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1. ……5分
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线
y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2, ……10分
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. ……12分
考点:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系。
点评:容易题,研究直线与抛物线只有一个公共点,除判别式为0,还要考虑直线与抛物线轴平行的情况,以免失解。

练习册系列答案
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