(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点
(2,1),平行于
直线
在
轴上的截距为
,设直线
交椭圆于两个不同点
、
,
(1)求椭圆方程;
(2)求证:对任意的的允许值,
的内心在定直线
。
(1)(2)直线
为
,由
得
,
设直线
、
的斜率分别为
、
,
所以,
的角平分线垂直
轴,因此,内心的横坐标等于点
的横坐标,则对任意的
,
的内心在定直线
解析试题分析:(1)设椭圆方程为
则 所以椭圆方程为
…… 5分
(2)如图,因为直线平行于
,且在
轴上的截距为
,又
,所以,直线
的方程为
, 由
,
设,则
,…………8分
设直线、
的斜率分别为
、
,则
,
故=
=
……………12分
故=0, 所以,
的角平分线垂直
轴,因此,内心的横坐标等于点
的横坐标,则对任意的
,
的内心在定直线
……14
考点:椭圆方程及直线与椭圆的位置关系
点评:直线与椭圆相交,利用韦达定理设而不求是常用的思路,本题要证内心在定直线上转化为两边关于该直线对称,进而与斜率联系起来
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在
轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求这三条曲线的方程;
(2)对于抛物线上任意一点,点
都满足
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
(理)已知椭圆的一个焦点为
,点
在椭圆
上,点
满足
(其中
为坐标原点),过点
作一直线交椭圆于
、
两点 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值;
(3)设点为点
关于
轴的对称点,判断
与
的位置关系,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)已知点分别为椭圆
的左、右焦点,点
为椭圆上任意一点,
到焦点
的距离的最大值为
.
(1)求椭圆的方程。
(2)点的坐标为
,过点
且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点。对于任意的
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,且过点(
),
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为
,离心率
,过右焦点
的直线
交
椭圆于,
两点:
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求
的面积;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
解答题(本题共10分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤):
已知是椭圆
上一点,
,
是椭圆的两焦点,且满足
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设、
是椭圆上任两点,且直线
、
的斜率分别为
、
,若存在常数
使
,求直线
的斜率.
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