Question

2．已知f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|，若存在实数a，b（a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，得a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答 解：若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）；
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0；
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，
故只能是a，b∈（1，+∞）；
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数与方程的综合应用问题，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，是综合性较强的题目．