Question

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，f（x）在（-9，-2）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的概念及应用

分析：问题等价于导函数f′（x）=x²+2ax+（2a-1）≤0在（-9，-2）上恒成立，可得只需a大于等于

1-x

2

在x∈（-9，-2）的最大值，由x的范围可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，f（x）在（-9，-2）上单调递减，
∴导函数f′（x）=x²+2ax+（2a-1）≤0在（-9，-2）上恒成立，
变形可得2（x+1）a≤1-x²，∵x∈（-9，-2），∴x+1∈（-8，-1），
∴a≥

1-x2

2(1+x)

=

1-x

2

，只需a大于等于

1-x

2

在x∈（-9，-2）的最大值，
∵x∈（-9，-2），∴-x∈（2，9），∴1-x∈（3，10），
∴

1-x

2

∈（

3

2

，5），∴a≥5

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属中档题．