Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=2，|

b

|=1，且对一切实数x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，则

a

，

b

的夹角的大小为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：设

a

，

b

的夹角为θ，求得

a

•

b

=2cosθ，再由向量的平方即为模的平方，对一切实数x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，即有不等式x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，运用判别式不大于0，解不等式，再由非负数概念和夹角的范围，即可得到所求夹角．

解答： 解：设

a

，

b

的夹角为θ，
则

a

•

b

=2×1×cosθ=2cosθ，
不等式|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|即为
（

a

+x

b

）²≥（

a

+

b

）²，
即

a

2+2x

a

•

b

+x²

b

2≥

a

2+2

a

•

b

+

b

2，
即有4+4xcosθ+x²≥4+4cosθ+1，
即x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0，
由对一切实数x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，
则有△≤0，即为16cos²θ+4（1+4cosθ）≤0，
即有（2cosθ+1）²≤0，
则有2cosθ+1=0，
即cosθ=-

1

2

，
由0≤θ≤π，可得θ=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查二次不等式恒成立思想，运用判别式不大于0是解题的关键．