Question

已知f（x）=

x2-4x+3，  x≤0 -x2-2x+3，  x＞0

不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-2，0）
• B、（-∞，0）
• C、（0，2）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．

解答： 解：①当x≤0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）²-1=-（0+1）²+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故选D．

点评：本题考查了分段函数的性质应用及分段函数的单调性的判断，同时考查了恒成立问题化为最值问题，属于中档题．