Question

在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为：

x=4cosφ y=3sinφ

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ
（1）去曲线C₁的直角坐标方程；
（2）已知点M是曲线C₁上任意一点，点N是曲线C₂上任意一点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；
（2）利用已知，得到|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，然后，得到|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．

解答： 解：（1）由ρ=2cosθ，得
ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
（2）设点M（4cosφ，3sinφ），则
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，
当cosφ=-1时，得|MC₂|²_max=25，|MC₂|_max=5，
当cosφ=

4

7

时，得|MC₂|²_min=

54

7

，|MC₂|_min=

3 42

7

，
∴

3 42

7

-1≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤5+1，
∴|MN|的取值范围[

3 42

7

-1，6]．

点评：本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．