Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，求满足T_n≤

15

8

的最大正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列递推式求得首项，取n=n-1得另一递推式，作差后可得数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n求得b_n，然后利用错位相减法求得T_n，作差判断出T_n为递增数列，再由数列的函数特性求得满足T_n≤

15

8

的最大正整数n的值为6．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
当n=1时，求得a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
两式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则an=2•2n-1=2n；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

①，

1

2

Tn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

②，
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•

1

2n+1

．
∴Tn=2-

n+2

2n

．
令f（n）=2-

n+2

2n

，则f（n+1）-f（n）=2-

n+3

2n+1

-2+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴f（n）为增函数，又∵f（6）=2-

8

26

=

15

8

，
∴满足T_n≤

15

8

的最大正整数n的值为6．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．