Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

3

，椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5；
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，若

AN

•

BN

=0，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的离心率为

2

3

，得

c

a

=

2

3

，由椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5，得a+c=5，再由a，b，c的关系式，就可解出a，b的值，得到椭圆方程．
（2）设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，解得x₁+x₂，x₁x₂，利用弦长公式求出|AB|长．因为M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，可求出|MN|的长，由M为线段AB的中点，

AN

•

BN

=0可得|AB|=2|MN|，把前面求出的|AB|长与|MN|的长代入，就可得到关于k，t的等式，用k表示t，再根据k的范围求出t的范围即可．

解答：解：（1）依题意，得

a+c=5 c a = 2 3

，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=

5

，
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

5

=1
（2）设直线AB方程为y=k（x-2），代入椭圆

x2

9

+

y2

5

=1中，得
（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0
∵直线与椭圆交于A、B两点，
有△（36k²）²-4（9k²+5）（36k²-45）=25×36（k²+1）＞0
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

30(k2+1)

9k2+5

又由|MN|=t-

x1+x2

2

=t-

18k2

9k2+5

，又∵Rt△ABN中，M为斜边AB的中点，
∴|AB|=2|MN|，即

30(k2+1)

9k2+5

=2t-

36k2

9k2+5

解得，t=

33k2+15

9k2+5

=

11

3

-

10 3

9(k2+ 5 9 )

∵k²≥0，∴k2+

5

9

≥

5

9

，9(k2+

5

9

)≥5
0＜

10 3

9(k2+ 5 9 )

≤ 

2

3

，-

2

3

≤-

10 3

9(k2+ 5 9 )

＜0
3≤

11

3

-

10 3

9(k2+ 5 9 )

＜

11

3

∴t的取值范围为[3，

11

3

）

点评：本题主要考察了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆相交时弦长公式的应用，分离变量求参数的取值范围，属于圆锥曲线的综合题．