Question

6．已知△ABC是边长为$2\sqrt{3}$的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{FM}$的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．

解答 解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，
以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵该正三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
E（0，-1），F（0，3），
当点M在边AB上时，设点M（x₀，0），
则-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-1），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，-3），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=-x₀²+3，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值为3，
当点M在边BC上时，
∵直线BC的斜率为-$\sqrt{3}$，
∴直线BC的方程为：$\sqrt{3}$x+y-3=0，
设点M（x₀，3-$\sqrt{3}$x₀），则0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=2x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值为0，
当点M在边AC上时，
∵直线AC的斜率为$\sqrt{3}$，
∴直线AC的方程为：$\sqrt{3}$x-y+3=0，
设点M（x₀，3+$\sqrt{3}$x₀），则-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=-4x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值为3，
综上，最大值为3，
故选：A．

点评 本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．