Question

19．已知动点M（x，y）满足：$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，可得动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，${x}_{1}=\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}，{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，点P在曲线E上可得${{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…①，同理可得：${{λ}_{2}}^{2}+4{λ}_{2}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…②
由①②可得λ₁、λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的两个根，λ₁+λ₂为定值-4．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，可得点M（x，y）到定点A（-1，0），B（1，0）的距离等于之和等于2$\sqrt{2}$．
且AB$＜2\sqrt{2}$，所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），
由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，（x₁，y₁-y₀）=λ₁（1-x₁，-y₁），∴${x}_{1}=\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}，{y}_{1}=\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，
∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴$\frac{1}{2}（\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}）^{2}+（\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}）^{2}=1$，
∴${{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…①
同理可得：${{λ}_{2}}^{2}+4{λ}_{2}+2-2{{y}_{0}}^{2}=0$…②
由①②可得λ₁、λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂为定值-4．

点评 本题考查了动点的轨迹问题，以及定值问题，转化思想是解题的关键，属于中档题．