Question

14．设F为抛物线C：y²=8x，曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则$\frac{|FA|}{|BA|}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A（x₀，y₀），根据题意可求出A（1，2$\sqrt{2}$），继而求出答案．

解答 解：F为抛物线C：y²=8x的焦点，则F（2，0），其准线方程为x=-2，
设A（x₀，y₀）
∵y=$\frac{k}{x}$，
∴k=x₀y₀=2x₀$\sqrt{2{x}_{0}}$
∴y′=-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
∴直线AF的斜率为-$\frac{k}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}}$
∵k_AF=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$=，
∴-$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{2{x}_{0}}}{{x}_{0}-2}$，
解得x₀=1，
∴A（1，2$\sqrt{2}$），
∴AC=1+2=3，FD=4，
∴$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AC}{FD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{AB+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=3，
∴$\frac{|FA|}{|BA|}$=$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．