Question

4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD=1，AB=$\sqrt{2}$，求二面角B-AD-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 只需证明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC
（Ⅱ） 易得∴$CD=\sqrt{6}$，建立空间直角坐标D-xyz，则D（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，$\sqrt{6}$，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}，0.\frac{\sqrt{6}}{3}$），
求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$，求得二面角B-AD-E的大小为60⁰．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…（1分）
因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB…（2分）
又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC．…（4分）
（Ⅱ）∵AB=$\sqrt{2}$，AD=1．∴DB=$\sqrt{3}$
依题意△ABD∽△BDC，
所以$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{CD}{\sqrt{3}}$．∴$CD=\sqrt{6}$   …（5分）
如图所示，建立空间直角坐标D-xyz，则D（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，$\sqrt{6}$，0），
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}，0.\frac{\sqrt{6}}{3}$），
$\overrightarrow{DE}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{2}，0）$，$\overrightarrow{DA}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{6}}{3}$）．…（6分）
由（Ⅰ）知平面DAB的法向量$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$．…（7分）
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{6}$，可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{6}，-\sqrt{3}，-\sqrt{3}$）．…（9分）
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=-$\frac{1}{2}$．…（11分）
由图可知二面角B-AD-E的平面角为锐角，
所以二面角B-AD-E的大小为60⁰．…（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．