Question

20．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
注：圆台的体积和侧面积公式：
V_台=$\frac{1}{3}$（S_上+S_下+$\sqrt{S上•S下}$）h=$\frac{1}{3}$π（r${\;}_{1}^{2}$+r${\;}_{2}^{2}$+r₁r₂）h
S_侧=π（r_上+r_下）l
圆锥的侧面积公式：V_锥=$\frac{1}{3}$Sh，S_侧=πrl．

Answer 1

分析 画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．

解答 解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．

则圆台上底面半径r₁=2，下底面半径r₂=5，高h=4，母线长l=5，圆锥底面半径r₁=2，高h′=2．
∴S_表面=S_圆台底面+S_圆台侧面+S_圆锥侧面=π×5²+π×（2+5）×5+π×2×2$\sqrt{2}$
=（4$\sqrt{2}$+60）π；
V=V_圆台-V_圆锥=$\frac{1}{3}$π（${{r}_{1}}^{2}$+r₁r₂+${{r}_{2}}^{2}$）h-$\frac{1}{3}$π${{r}_{1}}^{2}$h′=$\frac{1}{3}$π（25+10+4）×4-$\frac{1}{3}$π×4×2=$\frac{148}{3}$π．

点评 本题考查圆锥、圆台的体积的求法，明确四边形ABCD绕直线AD旋转所得图形是解答该题的关键，是中档题．