Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₇=16，S₆=33，等比数列{b_n}满足${b_1}=\frac{1}{2}$，点（2，b₂），（1，b₃），落在直线x-8y=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n+b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的系统公司与求和公式可得a_n．由点（2，b₂），（1，b₃），落在直线x-8y=0上，可得2-8b₂=0，1-8b₃=0，解得b₂，b₃．利用等比数列的系统公司可得b_n．
（2）a_n+b_n=（3n-5）+$（\frac{1}{2}）^{n}$．利用等差数列与等比数列的求和公式可得：数列{a_n+b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₇=16，S₆=33，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+6d=16}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}×d=33}\end{array}\right.$，解得a₁=-2，d=3，
∴a_n=-2+3（n-1）=3n-5．
∵点（2，b₂），（1，b₃），落在直线x-8y=0上，∴2-8b₂=0，1-8b₃=0，解得b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{1}{8}$．
∴公比q=$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）a_n+b_n=（3n-5）+$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和为T_n=[-2+1+…+（3n-5）]+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}]$
=$\frac{n（-2+3n-5）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3{n}^{2}-7n}{2}$+1-$（\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、函数的性质，查了推理能力与计算能力，属于中档题．