Question

20．在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB=$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，结合sinB≠0，可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A为锐角，可求A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求bc=6，进而利用余弦定理可求b+c=5，即可得解△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）∵解：在△ABC中，若$\sqrt{3}$b=2asinB，可得$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，
∴由sinB≠0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴A=60°．
（Ⅱ）∵A=60°．a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴bc=6，
∴由余弦定理可得：7=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-18，
∴解得：b+c=5，
∴△ABC的周长l=a+b+c=$\sqrt{7}$+5．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．