Question

5．（1）设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈[0，1）}\\{2-x，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，求${∫}_{0}^{2}$f（x）dx的值；
（2）若复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$为纯虚数，求|z₁|．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的积分公式进行计算即可．
（2）根据纯虚数的定义，建立方程关系求出a的值，结合复数的模长公式进行计算即可．

解答 解：（1）${∫}_{0}^{2}$f（x）dx=∫${\;}_{0}^{1}$x²dx+∫${\;}_{1}^{2}$（2-x）dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$
=$\frac{1}{3}$+（2×$2-\frac{1}{2}$×2²）-（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$+2-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$．
（2）∵$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$为纯虚数，∴设$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=bi，b是实数，
则z₁=z₂bi，即a+2i=（3-4i）bi=4b+3bi，
则$\left\{\begin{array}{l}{a=4b}\\{2=3b}\end{array}\right.$，则a=$\frac{8}{3}$，则|z₁|=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=$\sqrt{\frac{64}{9}+4}$=$\sqrt{\frac{100}{9}}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查积分的计算以及复数概念的应用，利用相应的公式是解决本题的关键．