Question

如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的

中点，点在棱上，且满足．

（1）求证：；

（2）在棱上确定一点， 使，，，四点共面，并求

此时的长；

（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．

 

Answer 1

推理论证法：

（1）证明：连结，，因为四边形是正方形，所以．

在正方体中，平面，平面，所以． 因为，，平面，

所以平面． 因为平面，所以．

（2）解：取的中点，连结，则．

在平面中，过点作，则．

连结，则，，，四点共面．

因为，，

所以．故当时，，，，四点共面．

（3）延长，，设，连结，

    则是平面与平面的交线．

过点作，垂足为，连结，

因为，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为平面与平面所成二面角的平面角．

因为，即，所以．

在△中，，，

所以

         ．即．

因为，

所以．

所以．所以．

故平面与平面所成二面角的余弦值为．

空间向量法：

（1）证明：以点为坐标原点，，，所在的直线

分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

，，

所以，．

因为，所以．所以．

（2）解：设，因为平面平面，

平面平面，平面平面，所以．（

所以存在实数，使得．

因为，，所以．

所以，．所以．

故当时，，，，四点共面．

（3）解：由（1）知，．

设是平面的法向量，则即

取，则，．所以是平面的一个法向量．

而是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角为，则．

故平面与平面所成二面角的余弦值为．