Question

椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．

　

　

Answer 1

 解：（1）由题意知e==，，

即a=b…（1分）

又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，

∴b==1，…（2分）

∴a=，

故椭圆的方程为…（4分）

（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x₀，ax₀²）

∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax₀，

∴切线方程为y﹣ax₀²=2ax₀（x﹣x₀），

∵直线l过点M（﹣，0），

∴﹣ax₀²=2ax₀（﹣﹣x₀），

∵点N在第二象限，∴x₀＜0，

解得x₀=﹣1．∴N（﹣1，a）．

∴直线l的方程为y=﹣2ax﹣a…（8分）

代入椭圆方程整理得（1+8a²）x²+8a²x+2a²﹣2=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

∴x₁+x₂=﹣，x₁x₂=…（10分）

由=λ，=μ，

得λ=，μ=

∴λ+μ=+==﹣4，

∵a＞0，

∴a=

∴抛物线的标准方程为x²=y…（13分）