Question

2．双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点是F_l，F₂，抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点为F₂，点P是双曲线M与抛物线N的一个交点，若PF₁的中点在y轴上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，由题意可得p=2c，再由中点坐标公式可得P的横坐标为c，即有PF₂⊥x轴，可得PF₂=p=2c，
运用勾股定理和双曲线的定义，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
而F₂（c，0），即有c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
由PF₁的中点在y轴上，可得P的横坐标为c，
即有PF₂⊥x轴，可得PF₂=p=2c，
即有PF₁=$\sqrt{2}$PF₂=2$\sqrt{2}$c，
由双曲线的定义，可得PF₁-PF₂=2a，
即有（2$\sqrt{2}$-2）c=2a，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点和中点坐标公式，考查双曲线的定义，以及化简整理的能力，属于中档题．