【题目】已知动圆过点
并且与圆
相外切,动圆圆心
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线
与轨迹
交于
、
两点,设直线
,设点
,直线
交
于
,求证:直线
经过定点
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据题意,判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支,然后根据定义即可求得双曲线的方程。
(Ⅱ)讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题。当斜率不存在时,易得直线过定点的坐标为;当斜率存在时,设出直线方程,联立曲线方程,消y得到关于
x的一元二次方程,利用韦达定理表示出两个交点横坐标间的关系;利用,再证明直线BM经过
。
(Ⅰ)由已知,即
所以轨迹
为双曲线的右支,
,
,
,
曲线
标准方程
(Ⅱ)由对称性可知,直线必过
轴的定点
当直线的斜率不存在时,
,
,
,知直线
经过点
当直线的斜率存在时,不妨设直线
,
,
直线
,当
时,
,
得
,
,
下面证明直线经过点
,即证
,即
即,由
,
整理得,
,即
即证经过点
,直线
过定点
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家放开计划生育政策,鼓励一对夫妇生育2个孩子.在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中,进行大数据统计得,有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎,其余的均为单胞胎.在这99900对恰好生育一孩的夫妇中,男方、女方都愿意生育二孩的有50000对,男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有对,男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有
对,其余情形有
对,且
.现用样本的频率来估计总体的概率.
(1)说明“其余情形”指何种具体情形,并求出,
,
的值;
(2)该地区为进一步鼓励生育二孩,实行贴补政策:凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元,第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元.第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元.这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性:原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩,但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩.设为该地区的一对夫妇享受的生育贴补,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为,
,
(
,且
,
,
),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在四场竞赛中,已知甲最终分为
分,乙最终得分为
分,丙最终得分为
分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“听”这场竞赛的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了进一步提升基层党员自身理论素养,市委组织部举办了党建主题知识竞赛(满分120分),从参加竞赛的党员中采用分层抽样的方法抽取若干名党员,统计他们的竞赛成绩得到下面频率分布表:
成绩/分 | |||||
频率 | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
已知成绩在区间内的有
人.
(1)将成绩在内的定义为“优秀”,在
内的定义为“良好”,请将
列联表补充完整.
男党员 | 女党员 | 合计 | |
优秀 | |||
良好 | 15 | ||
合计 | 25 |
(2)判断是否有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关?
(3)若在抽取的竞赛成绩为优秀的党员中任意抽取2人进行党建知识宣讲,求被抽取的这两人成绩都在内的概率.
附:
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点、
的坐标分别是
,
,直线
,
相交于点
,且它们的斜率之积为
.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)若过点的直线
交动点
的轨迹于
、
两点, 且
为线段
,
的中点,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如下表
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推, 例如6613用算筹表示就是: ,则26337用算筹可表示为( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是2的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为6cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.
问:(1)这个几何体是什么?
(2)这个几何体由几个面构成?每个面的三角形是什么三角形?
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