Question

5．如图，已知F是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，过点O、F的圆的圆心为Q，点Q到抛物线准线的距离为$\frac{3}{2}$．过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交点为M．
（1）求抛物线的方程；
（2）求$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MA}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可知圆心O在直线y=$\frac{p}{4}$上，根据O到准线的距离列方程解出p，得出抛物线方程；
（2）求出切线方程，联立方程组解出M的坐标，得出向量$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{AB}$的坐标，带入向量的数量积公式运算．

解答 解：（1）抛物线的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，焦点F（0，$\frac{p}{2}$）．
∵圆O经过O，F，∴O在直线y=$\frac{p}{4}$上．
∴O到抛物线的准线的距离d=$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$，∴p=2．
∴抛物线的方程为x²=4y．
（2）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$．
∴直线AM的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}}{2}x-$$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
直线BM的方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），即y=$\frac{{x}_{2}}{2}x$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-1）．
∴$\overrightarrow{MF}$=（-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，2），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{4}$），
∴$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{MF}•$（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{2}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2}$=0．

点评 本题考查了抛物线的性质，曲线的交点坐标，切线方程，属于中档题．