Question

己知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的增区间；
（3）是否存在实数m，使不等式＞（x+1）^m在-1＜x＜0时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据函数解析式得解之即得函数f（x）的定义域；
（2）在（1）中确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，解得的区间就是单调增区间．
（3）根据已知＞（x+1）^m在-1＜x＜0时恒成立等价于恒成立，构造新的函数h（x）=本题所要求的m的取值范围，只需m＞h（x）最大值即可．
解答：解：（1）根据函数解析式得，
解得x＞-1且x≠0．∴函数f（x）的定义域是x|x∈R，x＞-1且x≠0．（3分）
（2）∵，∴（5分）
由f'（x）＞0得ln（x+1）+1＜0．∴-1＜x＜e^-1-1．∴函数f（x）的增区间为（-1，e^-1-1）．（8分）
（3）∵e^-1-1＜x＜0，∴e^-1＜x+1＜1．∴-1＜ln（x+1）＜0．∴ln（x+1）+1＞0∴当e^-1-1＜x＜0时，．∴在区间（-1，0）上，
当x=e^-1-1时，f（x）取得最大值．∴[f（x）]_最大=f（e^-1-1）=-e．（10分）
∵在-1＜x＜0时恒成立．∴在-1＜x＜0时恒成立．
∴在-1＜x＜0时恒成立．∵在-1＜x＜0时的最大值等于-eln2．
∴m＞-eln2．∴当m＞-eln2时，不等式在-1＜x＜0，时恒成立．（14分）
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．