Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ为非零常数
（1）当λ=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ=11时，记b_n=a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ，证明：数列{b_n}是等比数列；并求此时数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用累加法即可求出数列的通项公式，
（2）根据等比数列定义即可证明．

解答 解：（1）当λ=1时，a_n+1=a_n+2ⁿ，
则a_n+1-a_n=2ⁿ，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=2²，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
由累加法得：a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-2
解得a_n=2ⁿ（n≥2）
显然，当n=1时也适合，故a_n=2ⁿ（n∈N*）．
（2）当λ=11时，b_n=a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ，
∴b_n+1=a_n+1+$\frac{1}{9}$×2ⁿ⁺¹=11a_n+2ⁿ+$\frac{1}{9}$×2ⁿ⁺¹=11a_n+$\frac{11}{9}$×2ⁿ=11（a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ）
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=11，
∵b₁=a₁+$\frac{1}{9}$×2¹=2+$\frac{2}{9}$=$\frac{20}{9}$
∴数列{b_n}是以$\frac{20}{9}$为首项，以11为公比的等比数列，
∴b_n=$\frac{20}{9}$•11^n-1，
∴a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ=$\frac{20}{9}$•11^n-1，
∴a_n=$\frac{20}{9}$•11^n-1-$\frac{1}{9}$×2ⁿ=$\frac{1}{9}$（20×11^n-1-2ⁿ）．

点评 本题考查了等比数列定义和数列的递推公式和累加法求数列的通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．