Question

7．△ABC中，AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC上的高AH=4，$\overrightarrow{AH}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可过H作AC的平行线交AB于D，作AB的平行线，交AC于E，这样根据正弦定理及平行线的知识、三角函数的诱导公式即可得出$\frac{AD}{AE}=\frac{cosC}{cosB}$，而由条件容易求出cosC，cosB的值，进而得出$\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．由向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义可得到$\overrightarrow{AH}=\frac{AD}{5}•\overrightarrow{AB}+\frac{AE}{2\sqrt{5}}•\overrightarrow{AC}$，进而可以求出x，y，从而得出$\frac{x}{y}$的值．

解答 解：如图，过H分别作AC，AB的平行线，分别交AB于D，AC于E；
则四边形ADHE为平行四边形；
由正弦定理，$\frac{AD}{AE}=\frac{AD}{DH}=\frac{sin∠AHD}{sin∠HAD}=\frac{sin（\frac{π}{2}-C）}{sin（\frac{π}{2}-B）}=\frac{cosC}{cosB}$；
在Rt△ABH中，AB=5，AH=4；
∴BH=3，cosB=$\frac{3}{5}$；
同理cosC=$\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
∵$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{AD}{AB}•\overrightarrow{AB}+\frac{AE}{AC}•\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AH}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{5}}\\{y=\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{2\sqrt{5}}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{x}{y}=\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{AD}{AE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 考查正弦定理，两直线平行内错角相等，三角函数的诱导公式，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．