精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
理科(本小题14分)已知函数,当时,函数取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
(Ⅰ).
(Ⅱ)
时,单调递增,
时,单调递减,;(Ⅲ)用数学归纳法证明.

试题分析:(Ⅰ). 由,得,此时.
时,,函数在区间上单调递增;
时,,函数在区间上单调递减.
函数处取得极大值,故.   3分
(Ⅱ)令,  4分
.函数上可导,存在,使得.

时,单调递增,
时,单调递减,
故对任意,都有.   8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,,且
由(Ⅱ)得,即

时,结论成立.   9分
②假设当时结论成立,即当时,
. 当时,设正数满足
 
,且.


13分
时,结论也成立.
综上由①②,对任意,结论恒成立.   14分
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,是导数的应用中的基本问题。本题(III)应用数学归纳法证明不等式,难度较大。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知,则           .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为an
(1)求an
(2)设,求数到的前n项和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

,则 
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若函数上无极值点,则实数的取值范围是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数内有极小值,则                   (   ) 
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数,且
(1)若函数处的切线与轴垂直,求的极值。
(2)若函数,求实数a的值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

曲线上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:

查看答案和解析>>

同步练习册答案