试题分析:(Ⅰ)
. 由
,得
,此时
.
当
时,
,函数
在区间
上单调递增;
当
时,
,函数
在区间
上单调递减.
函数
在
处取得极大值,故
. 3分
(Ⅱ)令
, 4分
则
.函数
在
上可导,
存在
,使得
.
又
当
时,
,
单调递增,
;
当
时,
,
单调递减,
;
故对任意
,都有
. 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当
时,
,且
,
,
,
由(Ⅱ)得
,即
,
当
时,结论成立. 9分
②假设当
时结论成立,即当
时,
. 当
时,设正数
满足
令
,
则
,且
.
13分
当
时,结论也成立.
综上由①②,对任意
,
,结论恒成立. 14分
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,是导数的应用中的基本问题。本题(III)应用数学归纳法证明不等式,难度较大。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。