Question

已知抛物线方程为x²=4y，过点M（0，2）作直线与抛物线交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点为P．
（Ⅰ）求x₁x₂的值；
（Ⅱ）求点P的纵坐标；
（Ⅲ）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得x₁x₂的值．
（Ⅱ）分别表示出两个切线方程，联立可求得y．
（Ⅲ）表示出点P到直线AB的距离，线段AB的长度，利用三角形面积公式表示出三角形面积，进而求得△PAB面积的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+2，与抛物线方程联立得x²-4kx-8=0，
△=16k²+32＞0，
∴x₁x₂=-8，
（Ⅱ）由导数的几何意义知过点A的切线斜率为

x1

2

，
∴切线方程为y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），①
同理过B的切线方程为y=

x2x

2

-

x 2 2

4

，②
由

x1x

2

-

x 2 1

4

=

x2x

2

-

x 2 2

4

，③
把③代入①得y=-2，
∴P的纵坐标为-2．
（Ⅲ）∵x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∵点P到直线AB的距离为d=

|2k2+4|

k2+1

，
线段AB的长度为|x₁-x₂|

1+k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+k2

=4

k2+2

•

1+k2

，
S=

1

2

|2k2+4|

k2+1

•

4

k2+2

•

1+k2

=4（k²+2） 

3

2

≥8

2

．
当且仅当k=0时取等号，
∴三角形PAB面积最小值为8

2

．

点评：本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离的应用．考查了学生分析推理和运算的能力．