Question

在数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，且S_n=n²+n，在数列{b_n}中，b₁=1，b₂=3，且b_n+2=4b_n+1-4b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n+1-2b_n，求证：数列{c_n}为等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求数列{a_n•c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）

cn+1

cn

=

bn+2-2bn+1

bn+1-2bn

=

2bn+1-4bn

bn+1-2bn

=2，由此能证明数列{c_n}为等比数列．
（Ⅲ）cn=1×2n-1=2n-1，a_nc_n=2n×2^n-1=n×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•c_n}的前n项和．

解答： （Ⅰ）解：当≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，…（2分）
当n=1时，a₁=2×1=2，
又a₁=S₁=1+1=2，…（3分）
∴a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）证明：

cn+1

cn

=

bn+2-2bn+1

bn+1-2bn

=

4bn+1-4bn-2bn+1

bn+1-2bn

=

2bn+1-4bn

bn+1-2bn

=2，
c₁=b₂-2b₁=3-2=1，
∴数列{c_n}为以1为首项，2为公比的等比数列．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得cn=1×2n-1=2n-1，…（9分）
∴a_nc_n=2n×2^n-1=n×2ⁿ，…（10分）
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2^n-1，②
①-②得：
-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．