Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意判断出数列{a_n}是等比数列，再代入等比数列的通项公式和前n项和公式化简；
（2）由（1）和条件求出b_n，利用错位相减可求{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=2a_n得，

an+1

an

=2，
则数列{a_n}是以2为首项和公比的等比数列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
Sn=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2
（2）由（1）得，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．