Question

4．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{λ}{2}$，x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，（λ≠0）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当λ=2时，写出由函数y=sin2x的图象变换到与y=f（x）的图象的变换过程．

Answer 1

分析 （1）由x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可求得sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，分情况讨论λ的取值即可得解．
（2）由已知求得解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{8}$）]+1，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答 解：（1）∵x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-π，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当λ＞0时，函数f（x）的单调递增区间为：[$\frac{1-\sqrt{2}}{2}λ$，λ]；当λ＜0时，函数f（x）的单调递增区间为：[λ，$\frac{1-\sqrt{2}}{2}λ$]；
（2）∵当λ=2时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{8}$）]+1，
∴由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可知：由函数y=sin2x的图象，纵坐标不变，沿x轴向右平移$\frac{π}{8}$个单位，然后纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍，再沿y轴向上平移1个单位即可得到f（x）的图象．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，属于基础题．