Question

已知函数f（x）=2x²+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（n，n+10），则实数m的值为（　　）

• A、25
• B、-25
• C、50
• D、-50

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=2x²+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞），得f（x）=2x²+bx+c=0只有一个根，从而2x²+bx+

b2

8

＜m解集为（n，n+10），进而|n+10-n|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=10，解出即可．

解答： 解：∵函数f（x）=2x²+bx+c（b，c∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=2x²+bx+c=0只有一个根，
即△=b²-8c=0则c=

b2

8

不等式f（x）＜m的解集为（n，n+10），
即为2x²+bx+

b2

8

＜m解集为（n，n+10），
则2x²+bx+

b2

8

-m=0的两个根为n，n+10，
∴|n+10-n|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 4 - b2 4 +2m

=10
解得m=50，
故选：C．

点评：本题考察了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，韦达定理，是一道中档题．