Question

用3米长的绳索围一个三角形，怎样围可以使这个三角形的面积最大？（限用导数法）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：应用题,导数的综合应用

分析：可知当底边一定，另两边和是定值时，则这两边相等，即为等腰三角形时三角形面积最大，设底边长为x米，则另两边长为

3-x

2

米，

3-x

2

米，高为

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，面积S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，两边平方后利用导数可求得最值．

解答： 解：当底边一定，另两边和是定值时，则这两边相等，即为等腰三角形时三角形面积最大，
∴设底边长为x米，则另两边长为

3-x

2

米，

3-x

2

米，高为

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，
面积S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，
4S²=x²（9-6x）=-6x³+9x²，y′=-18x²+18x，
当0＜x＜1时y′＞0，当x＞1时，y′＜0，
∴x=1时4S²取得极大值，也为最大值，4S²≤3，
S≤

3

2

，
∴当三角形是边长为1的等边三角形时，面积最大为

3

2

．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值，在实际问题中正确建立函数模型是解题关键所在．